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    Insegnamento di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA

    Corso di laurea in INGEGNERIA AEROSPAZIALE, MECCANICA, ENERGETICA

    SSD: MAT/03

    CFU: 6,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 48,00

    Periodo di Erogazione:

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    L'insegnamento ha l’obiettivo di fornire una introduzione ai metodi del calcolo matriciale, dell’algebra lineare e della geometria analitica in 2 e 3 dimensioni.

    Testi di riferimento

    - G. Anichini, G. Conti, R. Paoletti: Algebra lineare e geometria analitica (Eserciziario), Pearson
    - M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli: Geometria, Esculapio, Progetto Leonardo
    - Barani, L. Grasselli, C. Landi: Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e svolti. Esculapio, Progetto Leonardo
    - Olanda D.: Note di Algebra lineare e geometria analitica
    - Procesi R., Rota R.: Esercizi di Geometria e Algebra, Zanichelli

    Obiettivi formativi

    Comprensione dello spirito e delle tecniche dell'algebra lineare e capacita' di usarle nella risoluzione di problemi. Buona abilita' nell'affrontare problemi di geometria analitica.

    L'insegnamento ha l’obiettivo di fornire una introduzione ai metodi del calcolo matriciale, dell’algebra lineare e della geometria analitica in 2 e 3 dimensioni.

    Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
    Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di avere familiarità con i metodi del calcolo matriciale, dell’algebra lineare e della geometria analitica in 2 e 3 dimensioni.

    Abilità comunicative:
    Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà essere in grado di enunciare e dimostrare in maniera rigorosa risultati di algebra lineare e capacita' di usarli nella risoluzione di problemi. Buona abilità nell'affrontare problemi di geometria analitica.

    Prerequisiti

    Nessuno

    Metodologie didattiche

    L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale.

    Metodi di valutazione

    Valutazione di una prova scritta e di una prova orale basate sulla alla teoria presentata in aula e sulle esercitazioni svolte.
    Il voto finale risulterà pari alla media aritmetica delle due votazioni conseguite e il voto sarà espresso in trentesimi.

    Programma del corso

    • Vettori numerici e matrici su un campo K. Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni interne ed esterne. Relazione d'ordine e di equivalenza su un insieme. Definizione di campo. Il campo dei numeri reali e il campo dei numeri complessi. Operazioni tra vettori numerici e struttura di spazio vettoriale di Kn. Prodotto scalare numerico e sue proprietà. Operazioni tra matrici ad elementi in K: struttura di spazio vettoriale sull’insieme Km,n delle matrici di tipo (m,n). Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Operazioni elementari sulle righe di una matrice, algoritmo di riduzione a gradini. Determinante di una matrice quadrata, proprietà elementari e teoremi di Laplace e Binet (senza dim). Matrici invertibili. Rango di una matrice e teorema degli orlati (senza dim). Metodi per calcolare il rango. Matrici ortogonali.
    • Sistemi di equazioni lineari. Definizione di equazione lineare e di sistema di equazioni lineari nelle indeterminate x1, x2,., xn a coefficienti in un campo K. Sistemi compatibili ed incompatibili. Primo criterio di compatibilità (con dim), teorema di Rouchè-Capelli (con dim). Algoritmo di Gauss-Jordan per la risoluzione di un sistema lineare e “numero” di soluzioni di un sistema lineare. Sistemi di Cramer e metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare (con dim).
    • Spazi vettoriali su un campo K. Definizione di spazio vettoriale e proprietà elementari. Esempi: spazi vettoriali numerici, spazio delle matrici, spazio dei vettori applicati (del piano e dello spazio). Sottospazi vettoriali e operazioni tra essi: intersezione, sottospazio generato. Somma e somma diretta di due sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Spazi vettoriali di dimensione finita: sistemi di generatori, basi e riferimenti, dimensione. Lemma di Steinitz (senza dim.). Equipotenza delle basi di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita e loro dimensione. Relazione di Grassmann (senza dim). Proprietà della coordinazione, equazione dei sottospazi in un riferimento fissato. Il sottospazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Teorema di rappresentazione dei sottospazi di Kn.
    • Diagonalizzazione di matrici. Matrici simili. Definizione di matrice diagonalizzabile. Autovettori, autovalori e autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Polinomio caratteristico di una matrice. Teorema spettrale (senza dim), ricerca di una base di autovettori.
    • Spazi vettoriali euclidei standard. Prodotto scalare standard in Rn: disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, modulo della somma, disuguaglianza di Minkowski (o triangolare). Angolo fra due vettori, parallelismo e ortogonalità. Versori, basi ortonormali. Complemento ortogonale di un sottospazio: proprietà e dimensione; casi particolari per n=2,3. Prodotto scalare standard tra vettori geometrici. Prodotto vettoriale: definizione, proprietà e significato geometrico.
    • Elementi di Geometria Analitica. Spazio vettoriale dei vettori applicati del piano e dello spazio. Definizione di piano euclideo E2 e spazio euclideo E3 . I sottospazi affini di E2 ed E3: rette e piani. Distanza, angoli, parallelismo e ortogonalità. Riferimento cartesiano e coordinate. Formule di trasformazione delle coordinate. Rappresentazione analitica di rette nel piano e di rette e piani nello spazio. Formule di geometria analitica nel piano e nello spazio. Rette complanari e sghembe e condizioni analitiche. Parallelismo e ortogonalità (totale e parziale) tra sottospazi affini di E2 ed E3. Distanza di un punto da una retta e da un piano, distanza tra due rette e distanza tra due piani. Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano. Simmetrico di un punto rispetto ad un punto, rispetto ad una retta e rispetto ad un piano. Simmetrie ortogonali dello spazio euclideo di asse una retta o un piano.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    Introduction to the methods of matrix, linear algebra and analytical geometry in 2 and 3 dimensions.

    Textbook and course materials

    - G. Anichini, G. Conti, R. Paoletti: Algebra lineare e geometria analitica (Eserciziario), Pearson
    - M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli: Geometria, Esculapio, Progetto Leonardo
    - Barani, L. Grasselli, C. Landi: Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e svolti. Esculapio, Progetto Leonardo
    - Olanda D.: Note di Algebra lineare e geometria analitica
    - Procesi R., Rota R.: Esercizi di Geometria e Algebra, Zanichelli

    Course objectives

    Knowledge and understanding. Introduction to the study to the methods of matrix, linear algebra and analytical geometry in 2 and 3 dimensions.

    Applying knowledge and understanding. At the end of the course the student must prove that he understood the techniques of linear algebra, applying them in solving problems. Good ability to deal with analytical geometry problems.

    Communication skills. At the end of the course the student must be able to state and prove results on linear algebra and analytical geometry in 2 and 3 dimensions.

    Prerequisites

    None

    Teaching methods

    Lectures and classes for 48 hours.

    Evaluation methods

    Written and oral test. Final mark will depend on the average between written and oral examination.

    Course Syllabus

    • Numeric vectors and matrices of a field K. Bullets of the theory of sets. Internal and external operations. Order and equivalence report on a set. Field Definition. The field of real numbers and the field of complex numbers. Transactions between numeric vectors and vector space structure of K n. Scalar product and its propertiesà numeric. Matrix operations to elements in K: vector space structure on 'set K m, nof the type of matrix (m, n). Symmetric and antisymmetric matrices. Triangular, diagonal and scalar matrices. Basic operations on the rows of a matrix, gradient reduction algorithm. Determinant of a square matrix, à elementary properties and theorems of Laplace and Binet (no dim). Invertible matrices. The rank of a matrix and theorem of hemmed (no dim). Methods for calculating the rank. Orthogonal matrices.
    • Linear Equations Systems. Definition of linear equation and system of linear equations in the indeterminate x 1, x 2, ..., x n with coefficients in a field K. compatible and incompatible systems. First criterion of compatibility à (with dim),theorem Rouch -Hair (with dim). Gauss-Jordan algorithm for the resolution of a linear system and "number" of a linear system solutions. Cramer Systems andCramer method for the resolution of a linear system (with dim).
    • Vector spaces over a field K. Definition of vector space and a primary property.Examples: Numerical vector spaces, matrix space, applied vector space (plane and space). Substrate vectors and operations between them: intersection, substation generated. Sum and direct sum of two subspaces. Dependency and linear independence. Finite dimension vector spaces: generator systems, bases and references, dimension. Lemma Steinitz (no dim.). Equipotenza of the bases of a vector space. Vector subtypes of a finite size vector space and their size. Report Grassmann (no dim). Properties à coordination, equation of subspaces in a reference fixed. squared and smoke, the general linear group, a criterion of the subspace of solutions of a homogeneous linear system of subspaces representation theorem K n.
    • Diagonalization of matrices. Similar matrices. Definition of matrix diagonalizable.Eigenvectors, eigenvalues and eigenspaces. Algebraic and geometric multiplicity of an eigenvalue. A polynomial characteristic of a matrix. Spectral theorem (no dim),look for a base of eigenvectors.
    • Standard Euclidean vector spaces. Scalar product standard in R n: Cauchy-Schwartz inequality, form the sum, inequality of Minkowski (or triangular). Angle between two vectors, parallelism and orthogonality . Versors, orthonormal bases.Orthogonal complement of a subspace: properties and dimension; Special cases for n = 2.3. Scalar product between standard geometric vectors. Vector Product: definition, properties, and a geometric meaning.
    • Diagonalization orthogonal. Real square orthogonally diagonalizable matrices.Equivalence between symmetric matrices and matrices orthogonally Diagonalizable(no dim). Finding an orthonormal basis of eigenvectors of a symmetric matrix.
    • Elements of Analytical Geometry. Vector space of applied plane and space vectors.Definition of Euclidean plane E 2 and Euclidean space E 3. The affine subspaces of E2 and E 3: lines and planes. Distance, angles, parallelism and orthogonality .Cartesian reference and coordinates. Coordinate transformation formulas. Analytical representation of straight lines in the plane and straight lines and planes in space.Formulas of analytical geometry in plane and space. Parallelism and orthogonality (total and partial) between affine subspaces of E 2 and E 3. Distance of one point from one straight line and one plane, distance between two lines and distance between two planes.Orthogonal projection of a point on a straight line and on a plane. Symmetrical of a point with respect to a point, compared to a straight line and a plane. Movements of the Euclidean plane: translations, rotations, orthogonal symmetries and glide reflection. Orthogonal symmetries of the euclidean space of a straight line or plane.

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