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    Giovanni PISANTE

    Insegnamento di ANALISI SUPERIORE

    Corso di laurea magistrale in MATEMATICA

    SSD: MAT/05

    CFU: 12,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 96,00

    Periodo di Erogazione: Annualità Singola

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    Modulo A
    Gli argomenti trattati saranno: Il teorema di Hahn-Banach: forme analitiche e geometriche e applicazioni. Il teorema di Banach-Steinhaus e conseguenze, topologie deboli. Spazi riflessivi, separabili ed uniformemente convessi, spazi L^p, spazi di Hilbert.
    Modulo B
    Gli argomenti trattati saranno: teoria delle Distribuzioni di Schwarz, funzioni e misure come distribuzioni, convoluzione e derivazione di distribuzioni, derivate deboli, disuguaglianze di Sobolev, applicazioni alle equazioni differenziali ed al calcolo delle variazioni. Principio del massimo. Trasformata di Fourier e applicazioni.

    Testi di riferimento

    1. Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. xiv+599 pp. ISBN: 978-0-387-70913-0
    2. Lieb, Elliot H., Loss Michael. Analysis. Sec. Edition. Graduate Studies in Mathematics Vol. 14 American Mathematical Society, Providence Rhode Island. 2001. ISBN 0-8218-2783-9.

    Obiettivi formativi

    Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
    Il corso ha come obiettivo quello di rendere lo studente capace di assimilare le conoscenze acquisite e di saperle applicare in diversi ambiti dell’Analisi Matematica tra cui esempio le Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali e il Calcolo delle Variazioni.

    Abilità comunicative (communication skills):
    Preferendo una trattazione rigorosa, che di norma segue una presentazione intuitiva e descrittiva degli argomenti ed è seguita da diverse applicazioni ed esempi, il corso intende altresì favorire la capacità dello studente di esporre tematiche complesse e articolate in modo chiaro e rigoroso.

    Capacità di apprendere (learnings skills)
    La scelta degli argomenti e le modalità di presentazione degli stessi mirano a sviluppare nello studente le modalità autonome critiche di apprendimento necessarie per intraprendere gli avanzati studi successivi.

    *“Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di”
    - conoscere le nozioni di base dell'analisi funzionale
    - conoscere le nozioni di base e i principali risultati della teoria delle distribuzioni di Schwarz
    - conoscere i principali risultati sugli spazi di Sobolev
    - saper interpretare in senso debole e distribuzionale problemi differenziali
    - riconoscere il ruolo delle proprietà funzionali nello studio degli spazi di funzioni più frequentemente utilizzati
    - aver la capacità di argomentare sulle connessioni tra le diverse teorie presentate al corso e sulle varie applicazioni.

    Prerequisiti

    Si richiede la conoscenza degli argomenti di base di Analisi Matematica, tra cui in particolare: calcolo differenziale, successioni di funzioni, teoria della misura e spazi di Lebesgue.

    Metodologie didattiche

    Lezioni ed esercitazioni in aula.
    La didattica frontale sarà articolata in 96 ore di lezione: 48 ore per semestre.

    Metodi di valutazione

    La verifica e la valutazione del livello di conoscenza da parte dello studente avviene attraverso una prova orale con la possibile aggiunta di verifiche scritte o esoneri. La prova consisterà in una serie di domande sugli argomenti trattati al corso con il duplice scopo di verificare il livello di apprendimento degli argomenti presentati al corso e la capacità di applicare le nozioni e le tecniche apprese. L’unità di misura utilizzata sarà il voto in trentesimi. Lo studente verrà ammesso alla prova di esame solo se provvisto di valido documento di riconoscimento.

    Altre informazioni

    I docenti renderanno disponibili alcuni materiali di supporto alla didattica come dispense di alcune lezioni ed esercizi svolti sulla piattaforma di e-learning del corso.

    Programma del corso

    Modulo A (48 ore di didattica frontale)
    Gli argomenti trattati saranno: Il teorema di Hahn-Banach: forme analitiche e geometriche e applicazioni (circa 6 ore). Il teorema di Banach-Steinhaus e conseguenze: Teorema della mappa aperta e dell’inverso continuo (circa 8 ore). Topologie deboli. Spazi riflessivi, separabili ed uniformemente convessi
    (circa 8 ore) con esempi. Spazi L^p (circa 14 ore): principali proprietà, separabilità, spazi duali, convoluzione e regolarizzazione.
    spazi di Hilbert (circa 12 ore): principali proprietà, Teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram, basi ortonormali.
    Le lezioni saranno corredata dalla discussioni di esercizi.

    Modulo B (48 ore di didattica frontale)
    Gli argomenti trattati saranno: teoria delle Distribuzioni di Schwarz, funzioni e misure come distribuzioni, convoluzione e derivazione di distribuzioni (circa 12 ore). Derivate deboli e disuguaglianze di Sobolev (circa 16 ore). Applicazioni alle equazioni differenziali ed al calcolo delle variazioni. Principio del massimo (circa 10 ore). Trasformata di Fourier e applicazioni (circa 10 ore).

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    Part A : Functional Analysis.
    The formative objectives of Part A are related to the knowledge and understanding of the fundamental concepts and tools of Functional Analysis: the Hahn-Banach theorem and its main consequences in normed spaces; the uniform boundedness principle and the open mapping theorem.The properties of reflexive, separable and uniformly convex spaces.
    Particular attention will be given to the study of functional properties of the function spaces already known by the students as the L^p spaces and the Hilbert spaces.
    Part B: Distributions and Weakly differentiable functions.
    The course aims to provide a good knowledge of a selection of topics that, in view of the many applications, turn out to be fundamental in the area of Mathematical Analysis. Our issues will cover the theory of Schwarz Distributions, the spaces of weakly differentiable functions with particular focus on the Sobolev spaces. Sobolev inequalities. Applications to PDEs and Calculus of Variations. Maximum Principles, Fourier Transforms and applications.

    Textbook and course materials

    1. Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. xiv+599 pp. ISBN: 978-0-387-70913-0
    2. Lieb, Elliot H., Loss Michael. Analysis. Sec. Edition. Graduate Studies in Mathematics Vol. 14 American Mathematical Society, Providence Rhode Island. 2001. ISBN 0-8218-2783-9.

    Course objectives

    Applying knowledge and understanding:
    The aim is to make the student able to comprehend the acquired knowledge and to know how to apply it in different areas of the Mathematical Analysis including, for instance, Partial Differential Equations and Calculation of Variations.

    Communication skills:
    The course also aims to favor student's ability to expose complex and articulated subjects in a clear and rigorous manner. This will be obtained by preferring a rigorous discussion, which normally follows an intuitive and descriptive presentation of the topics and provided with various applications and examples.

    - Learning skills
    The choice of topics and the ways of presenting them aim at developing the student's learning skills necessary to undertake subsequent studies with a good degree of autonomy and understanding.

    * "At the end of the course the student will have to demonstrate"
    - to know the basics notions of Functional Analysis;
    - to know the basics of the Theory of Distributions, weak derivatives, and Sobolev spaces;
    - to have the ability to understsand the weak and distributional formulation of differential problems
    - to know how to identify the main functional properties of the most common function spaces
    - to have the ability to argue about the connections between the different theories presented and on the various applications.

    Prerequisites

    Knowledge of the fundaments of Mathematical Analysis is required. Among these: differential calculus, sequences of functions, measure theory and Lebesgue spaces

    Teaching methods

    Classroom lessons and exercises.

    Evaluation methods

    Verification and assessment of the level of knowledge will be done through an oral test with possibly written tests during, or at the end of, the course. The test will consist of a series of questions on the topics discussed at the course with the dual purpose of verifying the level of learning of the subjects presented and the ability to apply the learned knowledge and techniques.
    - the unit of measure used will be the vote over 30
    The admittance to the exam is subjected to the presentation of a valid ID document.

    Other information

    Related teaching material will be available on the e-learning web platform associated with the course.

    Course Syllabus

    Part A: Functional Analysis
    Hahn-Banach theorem, its analytic and geometric form and applications. The Banach-Steinhaus theorem and its consequences. Weak topologies, Reflexive, Separable and Uniformly convex spaces, L^p Spaces. Hilbert spaces.

    Part B: Distributions and Weakly differentiable functions
    Theory of Schwarz Distributions, Functions and Measures as distributions, convolution and derivation of a distribution, weak derivatives, Sobolev inequalities, applications to PDEs and Calculus of Variations . Maximum principles, Fourier Transform and applications.

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