INGLESE

Programma sintetico:

1) Introduzione alla Probabilità
2) Variabili aleatorie
3) Processi di Markov
4) Equazioni differenziali stocastiche
5) Equazione di Fokker-Planck
6) Master equation

- An Introduction to Probability Theory and its Applications- Author: W. Feller, WILEY
- Probabilità in Fisica – Authors: G. Boffetta and A. Vulpiani,
Springer-Verlag
- Stochastic Methods - Author: C. Gardiner, Springer Nature
- Stochastic Processes in Physics and Chemestry - Author: N. van Kampen, North Holland

Il corso si propone di fornire nozioni e metodi di base della teoria della probabilità e dei processi stocastici, con applicazioni nella fisica moderna e oltre. Il corso mira a fornire agli studenti una vasta gamma di metodi teorici di uso generale in molti rami della scienza. La conoscenza e la comprensione dei processi stocastici forniranno strumenti generali che verranno applicati a diverse aree della fisica. Tra gli obiettivi del corso ricordiamo lo sviluppo della capicità di trarre conclusioni e di apprendimento nei campi della probabilità applicata.

Analisi 1 e 2

Il corso è strutturato in 48 ore di lezioni frontali. Le lezioni includono lo svolgimento di esercizi in classe.
La frequenza del corso non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

L'esame consiste in un colloquio orale basato sulla discussione degli argomenti illustrati durante il corso, con una durata tipica di 45 minuti. I requisiti minimi per il superamento della prova orale includono una buona qualità dell'organizzazione del discorso e dell'esposizione, l'uso corretto del lessico specialistico, buona capacità di collegamenti critici tra gli argomenti trattati durante il corso. Il superamento dell'esame si otterrà con voto minimo di 18/30 alla prova orale.

1) Introduzione generale: motivazione all'uso della teoria della probabilità; moto Browniano ed equazione di Langevin; trattamento semplice delle equazioni differenziali stocastiche; introduzione alla probabilità: spazio campione, eventi, definizione assiomatica, leggi della probabilità, variabili aleatorie, esempi, momenti, diseguaglianzo di Chebyshev (1 CFU)

2) Funzioni di variabili aleatorie: metodo della PDF e della CDF, generazioine numerica di v.a., vettori aleatori, CDF e PDF congiunte e condizionate, indipendenza e correlazione statistica, convergenza in probabilità, legge debole dei grandi numeri, funzioni caratteristiche, diseguaglianzo di Chernov, teorema centrale del limite, nozioni di teoria della grandi deviazioni (1 CFU)

3) Introduzione alla teoria dell'informazione, problemi generali, entropia di Shannon, mutua informazione, Informazione e fisica, catene di Markov, classificazione degli stati, ricorrenza e periodicità, CM irriducibili, CM stazionarie, autovettori e autovalori teorema ergodico (1 CFU)

4) Processi stocastici: processi di Markov, equazione di Chapman-Kolmogorov, equzione di evoluzione, Liouville, Maseter equation, equazione di Fokker-Planck, soluzioni stazionarie, processo di Wiener, processo di Ornstein-Uhlenbeck, ransom walk, processo di Poisson, random tlelgraph (1 CFU)
5) Equazioni differenziali stocastiche: integrale di Ito, integrazione stocastica, integrale di Stratonovich, esempi (1 CFU)
6) Equazione di Fokker-Planck, corrente di probabilità, bilancio dettagliato, elementi di teoria della risposta (1 CFU)

English

Synthetic Program:

1) Introduction to Probability
2) Random Variables
3) Markov Processes
4) Stochastic Differential Equations
5) The Fokker-Planck Equation
6) Master Equations

- An Introduction to Probability Theory and its Applications- Author: W. Feller, WILEY
- Probabilità in Fisica – Authors: G. Boffetta and A. Vulpiani,
Springer-Verlag
- Stochastic Methods - Author: C. Gardiner, Springer Nature
- Stochastic Processes in Physics and Chemestry - Author: N. van Kampen, North Holland

The course is aimed at providing basic notions and methods of probability theory and stochastic processes, with applications in modern physics and beyond. The course is aimed at providing students with a broad range of theoretical methods of general use in many branches of science.
Knowledge and understanding of stochastic processes will provide general tools that will be applied to several different areas of physics.
Among the objectives of the course we mention the development of making judgements and learning skills in the fields of applied probability.

Mathematical analysis 1 and 2

The course is structured in 48 hours of frontal lectures. Lessons include classroom exercises.
Attendance is not compulsory but strongly recommended.

The examination is oral interview based on the discussion of the arguments illustrated during the course with a typical duration of 45 minutes.
The minimum requirements for passing the oral exam include a good quality of the organization of the speech and exposure, the correct use of the specialized lexicon, good ability to link critical topics covered during the course. Passing the exam will be obtained with a minimum grade of 18/30 to the oral exam.

1) General introduction: Motivation to the use of probability; Brownian motion and Langevin equation; Simple treatment of stochastic differential equations; Introduction to probability: Sample space, events, sigma-algebra; Axioms of probability; Joint and conditional probability; Different definitions of probability; Bayes theorem; Independence; Bernoulli trials; Binomial law; Random variables; Cumulative distribution function; Probability density function; Examples of random variables; Moments; Chebyshev Inequality; (1 CFU)

2) Functions of random variables: CDF and PDF methods; Numerical generation of random variables; Random vectors; Joint and conditional CDF and PDF; Independence and statistical correlation; Convergence in probability; Weak laws of large numbers; Characteristic functions, Chernov inequality; Central Limit Theorem; Basic notions on large deviations theory (1 CFU)
3) Introduction to information theory: General problems; Shannon entropy; Mutual information; Information and Physics; Markov chains: Definition of Markovianity; transition probabilities; Classification of states; General properties of recurrence and periodicity of MCs; Irreducibility; Stationary MCs. Eigenvalues and eigenvectors of the transition matrix; Ergodic theorem for finite MCs (1CFU)
4) Stochastic processes: Markov processes, Chapman-Kolmogorov equation, evolution equation; Liouville equation, Master equation, Fokker-Planck equation, Stationary solutions; Wiener process and Ornstein-Uhlenbeck process; random walk, Poisson process, random telegraph; (1CFU)
5) Stochastic integration, Ito stochastic integral, non-anticipating functions, Ito calculus; Stochastic differential equations, Ito formula, connection with Fokker-Planck equation, Stratonovich SDE, Ornstein-Uhlenbeck; First passage time and Arrhenius formula (1 CFU)
6)Fokker-Planck and continuity equation; probability current; stationary solution in one dimension, Detailed Balance; General problem of multivariate processes (with non-vanishing current): Symmetric and antisymmetric parts of the drift and of the current; reversible and irreversible currents; detailed balance; Linear response theory for continuous Markov processes (1 CFU)