ITALIANO

Elementi di calcolo delle probabilità.
Teoria delle variabili aleatorie.
Stima puntuale e per intervallo dei parametri di modelli di variabili
aleatorie.
Test d'ipotesi sui parametri di modelli di variabili aleatorie.
Regressione lineare semplice.

testi consigliati:
S. M. Ross, Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze, Apogeo.

P. Erto, Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria,
McGraw-Hill.

Sono disponibili su Teams le slides delle lezioni.

Il corso ha lo scopo di introdurre lo studente all’uso del calcolo delle
probabilità e della statistica per la soluzione di problemi di Ingegneria

Nessuno

Lezione frontale. Esercitazioni.

Produzione di un elaborato sull'analisi dei dati di un dataset consigliato e relativa inferenza statistica. Discussione orale.

Definizioni di probabilità (classica, frequentista, soggettiva, assiomatica). Richiami di calcolo combinatorio. Algebra degli eventi: esperimento casuale, eventi elementari e composti. Unione e intersezione di eventi. Evento complementare. Eventi incompatibili. Eventi indipendenti. Partizione dello spazio degli eventi. Probabilità condizionata. Legge della probabilità totale. Teorema di Bayes.

Variabili casuali. Funzione di distribuzione. Variabili continue e densità di probabilità. Trasformazioni di variabili. Variabili bidimensionali e distribuzione congiunta. Distribuzioni condizionate e marginali. Momenti di una variabile aleatoria. Media, momenti assoluti e momenti centrali. Proprietà degli operatori media e varianza. Covarianza e coefficiente di correlazione. Mediana, moda e quantili. Coefficienti di asimmetria e curtosi. Funzione generatrice dei momenti.
Variabili aleatorie disctrete: Uniforme, Bernoulli, Binomiale, Multinomiale, Geometrica, Binomiale negativa, Ipergeometrica, Poisson. (calcolo di massa di probabilità, funzione di distribuzione, media e varianza, funzione generatrice dei momenti). Uso delle tavole per binomiale e Poisson.
Alcuni risultati utili: disuguaglianza di Markov, disuguaglianza di Chebyshev, legge dei grandi numeri. Approssimazione della distribuzione binomiale con la Poisson.
Variabili aleatorie continue: Uniforme continua, Esponenziale, Gamma, Normale, Lognormale, Chi quadro, t di Student. Distribuzione normale: legge dei tre sigma; normale standard; uso delle tavole; quantili; somma di variabili normali; teorema del limite centrale. Approssimazione di una binomiale e di una Poisson con una normale.

Statistica: descrittiva e inferenziale. Concetti di popolazione e campione. Campionamento semplice, sistematico, stratificato.Esperimento: trattamento, responso, fattori e livelli. Disegno sperimentale. Organizzazione dei dati: variabili qualitative e quantitative (discrete e continue). Tabelle di frequenza. Rappresentazione dei dati: grafici a barre, a torta, dot plot, stem and leaf, istogrammi, box plot.
Utilizzo delle relative funzioni in Matlab.

Stima di parametri di una v.a. Stimatori. Bias e MSE. Stimatori corretti, asintoticamente corretti, consistenti, più efficienti. Lo stimatore media campionaria: correttezza, consistenza, distribuzione.
Lo stimatore varianza campionaria: correttezza, consistenza, distribuzione.
Stima puntuale dei parametri di una distribuzione: metodo dei momenti e della massima verosimiglianza. Esempi per le principali distribuzioni (Bernoulli, Esponenziale, Poisson, Uniforme, Gaussiana).
Stima intervallare: concetto di intervallo di confidenza e di grado di fiducia. Intervalli unilaterali e bilaterali. Errore massimo della stima. Intervalli di confidenza per la media (con varianza sia nota che incognita) e per la varianza di una popolazione. Intervallo per la differenza tra le medie di due popolazioni (varianza nota, varianza incognita ma uguale; campioni accoppiati). Stima della proporzione di una popolazione e relativo intervallo.

Test di ipotesi. Ipotesi nulla e ipotesi alternativa. Regola di decisione e regione di rifiuto. Errori di primo e secondo tipo. Significatività e potenza di un test. Fasi di un test. P-value.
Test parametrici e non parametrici. Test su una popolazione: sulla media (per varianza nota o incognita), sulla varianza, sulla proporzione (test esatto e approssimato). Test di confronto per la media tra due popolazioni (varianza nota o incognita ma uguale). Confronto per la media tra campioni appaiati.

Analisi di regressione. Regressione lineare semplice. Metodo dei minimi quadrati. Gli stimatori dei minimi quadrati per i parametri di regressione, per la somma dei quadrati dei residui, per la risposta media e la risposta singola. Inferenza e intervalli di confidenza. Test di dipendenza lineare. Intervalo di predizione per la risposta e bande di confidenza. Coefficiente di determinazione. Analisi dei residui. Generalizzazioni: linearizzazione del modello, minimi quadrati pesati, regressione lineare multipla. Applicazioni in Matlab.

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