ITALIANO

L’insegnamento affronterà le principali tematiche relative ai metodi numerici per l’analisi strutturale, con particolare riferimento ai cenni sui metodi variazionali, ai fondamenti del metodo agli elementi finiti, all’analisi di problemi mono-dimensionali e bi-dimensionali, allo studio degli errori e della convergenza della soluzione, alla formulazione e risoluzione di problemi non lineari e tempo-dipendenti, nonché alle applicazioni pratiche mediante software commerciali.

1. Introduction to Finite Element Analysis, J.N. Reddy, Mc Graw Hill

Testi specifici per studenti stranieri/erasmus NO

Testi specifici per studenti non frequentanti NO

Gli obiettivi formativi sono declinabili attraverso i c.d. “descrittori di Dublino”:

Conoscenza e capacità di comprensione
Il corso si prefigge di far acquisire allo studente una solida preparazione in materia di metodo agli elementi finiti, ai fini della comprensione dei fondamenti teorici e numerici dell’analisi strutturale, con particolare riferimento alla simulazione di fenomeni fortemente non lineari.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente deve essere in grado di rilevare gli elementi essenziali che caratterizzano la modellazione numerica di problemi strutturali mono-dimensionali e bi-dimensionali. Deve altresì comprendere e applicare i principali strumenti teorici e operativi del metodo agli elementi finiti, anche mediante l’impiego dei più comuni codici commerciali, per l’analisi di problemi lineari, non lineari e tempo-dipendenti.

Autonomia di giudizio
Lo studente deve essere in grado di formulare un giudizio critico sulle ipotesi di modellazione, sulle procedure numeriche adottate e sui risultati ottenuti mediante analisi agli elementi finiti. Deve altresì essere in grado di giudicare l’impatto delle scelte di discretizzazione, delle condizioni al contorno e dei modelli costitutivi sull’accuratezza e sull’affidabilità della soluzione numerica.

Abilità comunicative
Lo studente deve essere in grado di illustrare fondamenti teorici e applicativi relativi al metodo agli elementi finiti e alla simulazione numerica di problemi strutturali. Deve altresì argomentare i collegamenti logici tra formulazione matematica, modellazione numerica e interpretazione dei risultati, utilizzando un linguaggio tecnico proprio della materia.

Capacità di apprendimento
A conclusione del corso lo studente deve disporre di tutti gli strumenti utili per proseguire in modo autonomo, adottando un approccio critico, lo studio delle evoluzioni della materia, sia mediante continui aggiornamenti teorici, metodologici e applicativi.

Sono richieste conoscenze di base di Meccanica dei solidi.

Lezioni frontali da 2h ciascuna sui diversi temi della materia accompagnate da esercitazioni in aula sull'applicazione delle conoscenze acquisite.

Viaggi di istruzione NO

Lavoro in gruppo di studio SI

La verifica dell'apprendimento prevede l'esame orale che verificherà le capacità di fare collegamenti critici, la capacità di sintesi e approfondimento, uso del lessico specialistico.

E’ consentito usare prontuari, testi o materiali didattici durante la prova? NO

E’ consentito l’uso di strumenti o materiale informatico (PC, tablet, etc.)? SI

La prova orale si articola nella discussione di un elaborato progettuale e in due quesiti sugli argomenti teorici del corso. L’elaborato progettuale consiste in una presentazione PowerPoint relativa allo sviluppo di modelli numerici agli elementi finiti e alla discussione critica dei risultati ottenuti; i progetti sono assegnati in aula dal docente e possono essere svolti in team. Ciascuna delle tre parti della prova concorre fino a 10/30 alla determinazione del voto finale, espresso in trentesimi.

Materiali di supporto online SI

Slides usate dal docente caricate su Teams dell’insegnamento SI

Attività di tutorato NO

Insegnamento mutuato NO

Programma dettagliato del corso
Il corso si articola nei seguenti argomenti:
1. Introduzione al corso — 2 ore
I metodi numerici nella progettazione meccanica e inquadramento del ruolo del metodo agli elementi finiti nell’analisi strutturale.
2. Il modello geometrico — 2 ore
Modellazione 1D, 2D e 3D della geometria di componenti semplici. Introduzione agli strumenti software per il pre-processing geometrico.
3. Introduzione ai software commerciali agli elementi finiti — 2 ore
Descrizione delle principali fasi di un’analisi strutturale agli elementi finiti e panoramica dei più comuni ambienti software commerciali.
4. La formulazione debole dell’equilibrio — 2 ore
Cenni sui metodi variazionali e formulazione debole dei problemi di equilibrio.
5. Elemento asta — 2 ore
Derivazione e interpretazione della matrice di rigidezza di un elemento asta.
6. Le funzioni di forma — 2 ore
Funzioni di forma, derivazione del modello di elemento, assemblaggio, imposizione delle condizioni al contorno e risoluzione del sistema finale, con applicazione a travature reticolari.
7. Analisi agli elementi finiti di travature reticolari — 2 ore
Impiego di software commerciali per l’analisi strutturale di travature reticolari.
8. Analisi agli elementi finiti di telai 2D — 2 ore
Modellazione e analisi numerica di telai piani mediante software commerciali.
9. Elemento trave 2D — 2 ore
Derivazione della matrice di rigidezza di un elemento trave piano.
10. I telai 2D e 3D — 2 ore
Modello agli elementi finiti di telai piani e spaziali, trasformazione di coordinate e assemblaggio della matrice di rigidezza globale.
11. Analisi strutturale di un telaio 3D — 2 ore
Analisi strutturale di telai tridimensionali mediante l’impiego di software commerciali.
12. Discretizzazione di domini 2D — 2 ore
Tecniche di discretizzazione e generazione della mesh per domini bidimensionali.
13. Convergenza della soluzione numerica — 2 ore
Accuratezza del metodo agli elementi finiti, cenni di integrazione numerica e sistemi di riferimento naturali.
14. Elemento membrana — 2 ore
Derivazione della matrice di rigidezza e formulazione agli elementi finiti di un elemento membranale.
15. Elemento piastra — 2 ore
Formulazione agli elementi finiti di elementi piastra, con riferimento allo stato piano di tensione e allo stato piano di deformazione.
16. Analisi strutturale di una piastra forata — 2 ore
Applicazioni numeriche relative a piastre forate e giunzioni meccaniche; introduzione agli algoritmi di contatto.
17. Elementi shell — 2 ore
Formulazione degli elementi shell e degli elementi tridimensionali; elementi raffinati e richiami al triangolo di Pascal.
18. Analisi agli elementi finiti di strutture a guscio — 2 ore
Analisi strutturale di strutture a guscio, vincoli di simmetria e analisi di buckling agli autovalori.
19. Introduzione alle non linearità — 2 ore
Non linearità geometrica, di materiale e di contatto; metodi numerici per la soluzione di sistemi non lineari.
20. Analisi agli elementi finiti in regime di non linearità — 2 ore
Applicazioni di analisi non lineare, con riferimento a problemi di post-buckling di strutture irrigidite in materiale elasto-plastico.
21. Il metodo agli elementi finiti esplicito — 2 ore
Metodi espliciti di risoluzione, integrazione temporale e definizione del passo critico.
22. Analisi agli elementi finiti di fenomeni di impatto — 2 ore
Applicazioni della formulazione esplicita all’analisi di fenomeni d’urto e valutazione del bilancio energetico.
23. La non linearità di materiale nel metodo agli elementi finiti — 2 ore
Formulazione della matrice di rigidezza in presenza di non linearità di materiale.
24. Approfondimenti sul metodo agli elementi finiti in formulazione esplicita — 2 ore
Esercitazioni e approfondimenti applicativi sui modelli espliciti agli elementi finiti.

Totale ore: 48

Ci sono attività seminariali? NO

Italian

The course will address the main topics related to numerical methods for structural analysis, with particular reference to the basics of variational methods, the fundamentals of the finite element method, the analysis of one-dimensional and two-dimensional problems, the study of errors and solution convergence, the formulation and solution of nonlinear and time-dependent problems, as well as practical applications using commercial software.

1. Introduction to Finite Element Analysis, J.N. Reddy, Mc Graw Hill

Books only for foreign/erasmus students NO

Books only for not attending students NO

The intended learning outcomes are described according to the so-called “Dublin descriptors”:

Knowledge and understanding
The course aims to provide students with a solid background in the finite element method, for the purpose of understanding the theoretical and numerical foundations of structural analysis, with particular reference to the simulation of strongly nonlinear phenomena.

Applying knowledge and understanding
Students must be able to identify the essential aspects characterising the numerical modelling of one-dimensional and two-dimensional structural problems. They must also be able to understand and apply the main theoretical and operational tools of the finite element method, including through the use of the most common commercial software packages, for the analysis of linear, nonlinear, and time-dependent problems.

Making judgements
Students must be able to formulate a critical judgement on the modelling assumptions, numerical procedures, and results obtained through finite element analysis. They must also be able to assess the impact of mesh choices, boundary conditions, and constitutive models on the accuracy and reliability of the numerical solution.

Communication skills
Students must be able to illustrate the theoretical and applied foundations of the finite element method and of the numerical simulation of structural problems. They must also be able to discuss the logical connections among mathematical formulation, numerical modelling, and interpretation of results, using the technical language appropriate to the discipline.

Learning skills
At the end of the course, students must possess all the tools required to continue studying developments in the field independently and with a critical approach, including through ongoing theoretical, methodological, and applied updates.

Basic knowledge of Solid Mechanics is required.

Frontal lessons of 2 hours each on the different topics of the subject accompanied by exercises in the classroom on the application of the knowledge acquired.

Educational trips NO

Team study YES

The learning assessment includes an oral exam that will verify the ability to make critical connections, the ability to summarise and delve further, and the use of specialist vocabulary.

Is it permitted to use handbooks, texts or teaching materials during the test? NO

Is the use of computer tools or materials (PCs, tablets, etc.) permitted? YES

The oral examination consists of the discussion of a design project and two questions on the theoretical topics covered in the course. The design project consists of a PowerPoint presentation concerning the development of finite element numerical models and the critical discussion of the results obtained; projects are assigned in class by the lecturer and may be carried out in teams. Each of the three parts of the examination contributes up to 10/30 to the final grade, which is expressed out of 30.

Support material online YES

Slides used by the teacher on Teams YES

Tutoring NO

Class replicated NO

Detailed course programme
The course is structured into the following topics:
1. Introduction to the course — 2 hours
Numerical methods in mechanical design and the role of the finite element method in structural analysis.
2. The geometric model — 2 hours
1D, 2D, and 3D geometric modelling of simple components. Introduction to software tools for geometric pre-processing.
3. Introduction to commercial finite element software — 2 hours
Description of the main stages of a finite element structural analysis and overview of the most common commercial software environments.
4. The weak formulation of equilibrium — 2 hours
Basics of variational methods and weak formulation of equilibrium problems.
5. Bar element — 2 hours
Derivation and interpretation of the stiffness matrix of a bar element.
6. Shape functions — 2 hours
Shape functions, derivation of the element model, assembly, application of boundary conditions, and solution of the final system, with application to truss structures.
7. Finite element analysis of truss structures — 2 hours
Use of commercial software for the structural analysis of truss structures.
8. Finite element analysis of 2D frames — 2 hours
Modelling and numerical analysis of planar frames using commercial software.
9. 2D beam element — 2 hours
Derivation of the stiffness matrix of a two-dimensional beam element.
10. 2D and 3D frames — 2 hours
Finite element model of planar and spatial frames, coordinate transformation, and assembly of the global stiffness matrix.
11. Structural analysis of a 3D frame — 2 hours
Structural analysis of three-dimensional frames using commercial software.
12. Discretisation of 2D domains — 2 hours
Discretisation techniques and mesh generation for two-dimensional domains.
13. Convergence of the numerical solution — 2 hours
Accuracy of the finite element method, basics of numerical integration, and natural coordinate systems.
14. Membrane element — 2 hours
Derivation of the stiffness matrix and finite element formulation of a membrane element.
15. Plate element — 2 hours
Finite element formulation of plate elements, with reference to plane stress and plane strain conditions.
16. Structural analysis of a perforated plate — 2 hours
Numerical applications involving perforated plates and mechanical joints; introduction to contact algorithms.
17. Shell elements — 2 hours
Formulation of shell and three-dimensional elements; refined elements and reference to Pascal’s triangle.
18. Finite element analysis of shell structures — 2 hours
Structural analysis of shell structures, symmetry constraints, and eigenvalue buckling analysis.
19. Introduction to nonlinearities — 2 hours
Geometric, material, and contact nonlinearities; numerical methods for the solution of nonlinear systems.
20. Finite element analysis in the nonlinear regime — 2 hours
Applications of nonlinear analysis, with reference to post-buckling problems of stiffened structures made of elastoplastic materials.
21. The explicit finite element method — 2 hours
Explicit solution methods, time integration, and definition of the critical time step.
22. Finite element analysis of impact phenomena — 2 hours
Applications of the explicit formulation to impact analysis and evaluation of energy balance.
23. Material nonlinearity in the finite element method — 2 hours
Formulation of the stiffness matrix in the presence of material nonlinearity.
24. Further developments on the finite element method in explicit formulation — 2 hours
Exercises and applied insights on explicit finite element models.

Total hours: 48

Seminars NO