ITALIANO

- Il linguaggio matematico
- Insieme dei numeri reali e complessi
- Successioni e Funzioni numeriche
- Calcolo differenziale
- Integrali
- Serie numeriche e serie di Potenze
- Equazioni differenziali ordinarie

- Adams R.A. Calcolo Differenziale 1 - Casa Editrice Ambrosiana
- Bramanti M. Pagani C. Salsa S. Analisi matematica I, con elelmenti di Geometria e Algebra Lineare - Zanichelli
- Stewart J., Calcolo Funzioni di una variabile - Apogeo
- Tenenbaum M., Pollard H., Ordinary Differential equation - Dover Publications
- Alvino A., Carbone L. Trombetti G. Esercitazioni di Matematrica I - Liguori Ed.
- Amar M., Bersani A.M., Esercizi di Analisi Matematica - Esculapio
- Fiorenza R., Esercitazioni di Analisi Matematica vol.1,2 - Liguori

Introduzione dei concetti e dei metodi della Analisi Matematica, quali numeri reali, limiti, continuità, derivate e principali teoremi del calcolo differenziale, calcolo integrale, equazioni differenziali ordinarie.

Nessuno

-lezioni frontali
-esercitazioni
-prove intercorso

Esame scritto e orale

Nessuna

Numero di ore di Didattica Frontale:96

Numero di ore riservate per lo Studio Personale:204


A.A.:2022/2023

Titolare del Corso: Anna Maria Piccirillo


Programma Dettagliato del Corso

Il Linguaggio Matematico. Predicati e Proposizioni. Quantificatori. Elementi di Teoria degli Insiemi: unione, intersezione e complemento di insiemi e relative proprietà. Prodotto cartesiano di due insiemi. Logica delle proposizioni: dimostrazioni, implicazioni e controesempi. Negazione, congiunzione e disgiunzione di proposizioni. Il concetto di definizione. Struttura dell’enunciato di un teorema. Esempi di dimostrazione: la dimostrazione per assurdo. Definizione di relazione di ordine. Definizione di corrispondenza e di funzione. Formule ed Indici: sommatorie.

Gli Insiemi Numerici N, Z, Q e R. Assioma dei numeri reali. Prime proprietà: legge di annullamento del prodotto. I numeri naturali: definizione, rappresentazione mediante sistema binario e decimale e rappresentazione geometrica. Confronto tra numeri naturali, somma e pro- dotto di numeri naturali. Potenza di un numero naturale e proprietà delle potenze. Numeri pari e numeri dispari. Proprietà dei numeri naturali. Principio di induzione ed applicazioni: somma dei primi n numeri naturali, somma in progressione geometrica, la diseguaglianza di Ber- noulli. Fattoriale di un numero naturale e coefficiente binomiale. Il binomio di Newton. I numeri interi. I numeri razionali: definizione, rappresentazione geometrica e rappresentazione decimale. Dalla frazione alla rappresentazione decimale e viceversa. Confronto, somma e prodotto di due frazioni. I numeri reali. I numeri irrazionali: irrazionalità di √2 . Estremo superiore e assioma di continuità. Valore assoluto di un numero reale e sue proprietà. Intervalli. Radici n-esime aritmetiche. Potenze con esponente reale. Logaritmi e proprietà. Rappresentazione geometrica e rappresentazione decimale di un numero irrazionale. Il concetto di approssimazione. Assioma di Dedekind. Disequazioni di primo grado. Disequazioni di secondo grado. Disequazioni fratte e prodotto.

I Numeri Complessi. Definizione di numero complesso. Somma e prodotto di due numeri complessi. Il piano di Gauss. Rappresentazione in forma algebrica e in forma trigonometrica:parte reale, parte immaginaria, modulo ed anomalia. Passaggio da forma algebrica a forma trigonometrica e viceversa. Formule di de Moivre per determinare il prodotto, il rapporto e la potenza di un numero complesso. Radici n-esime di un numero complesso. Definizione di equazione algebrica di grado n, di molteplicità di una soluzione. Il teorema fondamentale dell’algebra . Fattorizzazione di un polinomio mediante le sue radici. Esponenziale complesso e formula di Eulero . Equazioni nel campo complesso.

Funzioni Numeriche. Definizione di funzione. Definizione di dominio e codominio. Il piano cartesiano e definizione di grafico di una funzione. Definizione di funzione iniettiva, suriettiva e biunivoca, composta, inversa. Funzioni pari, dispari e periodica. Funzioni monotone. Lettura del grafico di una funzione. Funzioni limitate: estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo. Funzioni definite a tratti. Funzioni lineari a tratti: deduzione della espressione analitica e determinazione della eventuale inversa. Grafico di funzione e operazione con i grafici mediante semplici trasformazioni geometriche. La funzione costante. La funzione identica . La funzione polinomio di primo grado. La funzione valore assoluto: proprietà e relative disequazioni.
Le funzioni potenza con esponente naturale ed esponente intero. Funzione potenza con esponente razionale e con esponente reale. Risoluzione di una disequazione mediante metodo grafico.
Funzioni esponenziale e logaritmo. Logaritmo del prodotto e del rapporto, cambiamento di base e relative disequazioni. Funzione polinomio di secondo grado.
La circonferenza goniometrica. Misura in radianti di un angolo. Le funzioni seno, coseno
e tangente. Proprietà dei triangoli e determinazione delle funzioni trigonometriche in alcuni valori particolari. Teorema di Pitagora e relazione fondamentale tra seno e coseno. Le inverse locali delle funzioni trigonometriche. Fenomeni vibratori: grafico di un polinomio trigonometrico asenx+bcosx e grafico di f(x)cosx o di f(x)senx.
Le funzioni iperboliche e loro inverse. Determinazione dell’insieme di definizione di una funzione.

Successioni. Definizione di successione, successione regolare e oscillante, definizione di limite di una successione. Teorema di unicità del limite. Successioni limitate e successioni convergen ti. Successioni monotone. Teorema di regolarità delle successioni monotone e applicazioni. Il numero di Nepero e sua approssimazione per eccesso e per difetto. Teoremi della permanenza del segno. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Prodotto di una successione limitata e una infinitesima. Teorema del confronto. Confronti e stime asintotiche. Proprietà della relazione di asintoticità. Gerarchia degli infiniti. Criterio del rapporto.

Limiti di funzioni e Continuita`. Definizione di intorno di un punto. Definizione di punto di accumulazione al finito e all’infinito. Definizione di punto isolato. Definizione di limite di una funzione. Il teorema ponte. Teorema di unicità del limite. Limite per eccesso e limite per difetto. Limite destro e limite sinistro. Asintoti. Teorema di regolarità per confronto. Teoremi della permanenza del segno. Algebra dei limiti. Teorema sul limite della funzione composta. Limiti di polinomi, di funzioni razionali. Limiti notevoli. Confronti e stime asintotiche. Gerarchia degli infiniti. Stime asintotiche e grafici. Definizione di funzione continua. Teorema di continuità delle funzioni elementari . Definizione di punto di discontinuità. Classificazione delle discontinuità di una funzione. Il teorema degli zeri. Il teorema di Weirstrass. Il teorema di Bolzano dei valori intermedi. Continuità e invertibilità. Invertibilità di una funzione continua strettamente monotona in un intervallo.

Calcolo Differenziale. Definizione di derivata di una funzione in un punto e sua interpretazione geometrica e fisica. Definizione di funzione derivabile in un punto e in un insieme. Insieme di derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi. Derivabilità e continuità. Algebra delle derivate. Teorema di derivazione della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Definizione di punto di estremo locale ed estremo assoluto. Teorema di Fermat. Punti stazionari. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Il test di monotonia.
I teoremi di de L’Hospital . Il teorema di prolungamento della derivata. Criterio di valutazione dell’ordine di infinitesimo. La derivata seconda e sua interpretazione geometrica. Le derivate di ordine superiore. Definizione di funzione concava/convessa. Convessità e rette tangenti. Punti di flesso ascendenti e discendenti. Test di convessità. Condizione necessaria per l’esistenza di un punto di flesso. Grafico di una funzione. Grafico locale di una funzione intorno ad un punto.

Differenziale di una funzione e approssimazione lineare. Il simbolo di “o piccolo”. Definizione di funzione differenziabile e sua interpretazione geometrica. Equivalenza tra differenziabilità e derivabilità. . Formula di Taylor e formula di Mac Laurin con resto di Peano.

Integrali. Primitiva di una funzione. Integrale indefinito di una funziona continua. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive di una funzione continua in un intervallo . Tabella degli integrali immediati. Proprietà dell’integrale indefinito. Metodi di integrazione indefinita: per decomposizione in somma, per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni razionali. Integrali di funzioni del tipo sennx, cosnx, senhnx,coshnx, xneαxsenβx , xneαxcosβx ,
sennx cosmx, xnlogx.Integrali di espressioni razionali .
Definizione di decomposizione di un intervallo, di somme superiori ed inferiori di una funzione
limitata. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann: interpretazione geometrica. Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann: la funzione di Dirichlet. Criterio di integrabilità di Riemann. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann: le funzioni monotone e le funzioni continue Proprietà dell’integrale defin ito: linearità, monotonia, additività, modulo, teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione di funzione integrabile in senso improprio. Funzioni non negative e integrabilità in senso improprio. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico.

Serie Numeriche. Definizione di serie numerica. Definizione di carattere di una serie. Condizione necessaria per la convergenza. La serie geometrica di ragione q. Serie telescopica. La serie armonica. La serie armonica generalizzata. Serie a termini non negativi. Criterio del rapporto, criterio della radice, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Serie a segni alterni. Criterio di Leibnitz. Serie con termine generale indeterminato in segno. Serie assolutamente convergenti. Convergenza assoluta e convergenza.

Equazioni Differenziali. Definizioni di equazione differenziale, di equazione differenziale lineare omogenea e completa, di soluzione di un’equazione differenziale, di integrale generale di un’equazione differenziale. Equazioni del primo ordine: equazioni a variabili separabili e problema di Cauchy. Equazioni lineari del primo ordine: teorema dell’integrale generale . Soluzione dell’equazione omogenea e ricerca di un integrale particolare della completa. Equazioni lineari del secondo ordine: Generalità sulle equazioni lineari. Problema di Cauchy. La struttura dell’integrale generale: teorema dell’integrale generale dell’equazione lineare completa. Teorema dell’integrale generale dell’equazione omogenea. Equazioni omogenee a coefficienti costanti. Equazioni non omogenee: ricerca di una soluzione particolare tramite il metodo di somiglianza e il metodo di variazione delle costanti.
Gli argomenti scritti in corsivo sono corredati di dimostrazioni.
Fanno parte del programma esempi e controesempi ed esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati.

Italian

- Mathematical Language
- The sets of real and complex numbers
- Sequences and real functions
- Differential Calculus
- Integrals
- Series and power series
- Ordinary differential equations

- Adams R.A. Calcolo Differenziale 1 - Casa Editrice Ambrosiana
- Bramanti M. Pagani C. Salsa S. Analisi matematica I, con elelmenti di Geometria e Algebra Lineare - Zanichelli
- Stewart J., Calcolo Funzioni di una variabile - Apogeo
- Tenenbaum M., Pollard H., Ordinary Differential equation - Dover Publications
- Alvino A., Carbone L. Trombetti G. Esercitazioni di Matematrica I - Liguori Ed.
- Amar M., Bersani A.M., Esercizi di Analisi Matematica - Esculapio
- Fiorenza R., Esercitazioni di Analisi Matematica vol.1,2 - Liguori

Introduce basic concepts and methods of Calculus, like real numbers, limits, continuity, derivative of function and principal theorems, integrals and ordinary differential equations.

None

- Theoretical Lessons
- Practice Lessons
- Checks during the course

Written and verbal exame

None

Number of hours of Frontal Teaching:96

Number of hours reserved for Personal Study:204


ACADEMIC YEAR:2022/2023

Course Holder:Anna Maria Piccirillo


Detailed Program of the Course.

The Mathematical Language. Predicates and Propositions. Quantifiers. Elements of Set Theory: union, intersection and complement of sets and their properties. Cartesian product of two sets. Logic of propositions: demonstrations, implications and counterexamples. Negation, conjunction and disjunction of propositions. The concept of definition. Structure of the statement of a theorem. Examples of demonstration: the proof by absurdity. Definition of order relation. Definition of correspondence and function. Formulas and Indices: summations.

Numerical Sets N, Z, Q and R. Axiom of real numbers. First properties: law of product cancellation. Natural numbers: definition, representation by binary and decimal system and geometric representation. Comparison of natural numbers, sum and pro- duct of natural numbers. Power of a natural number and properties of powers. Even numbers and odd numbers. Properties of natural numbers. Principle of induction and applications: sum of the first n natural numbers, sum in geometric progression, Ber- noulli's inequality. Factorial of a natural number and binomial coefficient. Newton's binomial. Whole numbers. Rational numbers: definition, geometric representation and decimal representation. From fraction to decimal representation and vice versa. Comparison, sum and product of two fractions. Real numbers. The irrational numbers: irrationality of √2 . Upper extremum and axiom of continuity. Absolute value of a real number and its properties. Intervals. Arithmetic n-hexad roots. Powers with real exponent. Logarithms and properties. Geometric and decimal representation of an irrational number. The concept of approximation. Dedekind's axiom. Disequations of the first degree. Disequations of second degree. Fraternal and product inequalities.

Complex Numbers. Definition of complex number. Sum and product of two complex numbers. Gauss plane. Representation in algebraic form and in trigonometric form:real part, imaginary part, modulus and anomaly. Transition from algebraic to trigonometric form and vice versa. De Moivre formulas for determining the product, ratio and power of a complex number. N-example roots of a complex number. Definition of an algebraic equation of degree n, multiplicity of a solution. The fundamental theorem of algebra . Factorization of a polynomial by its roots. Complex exponential and Euler's formula . Equations in the complex field.

Numerical Functions. Definition of function. Definition of domain and codomain. The Cartesian plane and definition of graph of a function. Definition of an injective, suriective and bijunctive, compound, inverse function. Even, odd and periodic functions. Monotone functions. Reading the graph of a function. Limited functions: upper and lower extremes, maximum and minimum. Functions defined at intervals. Linear functions with dashes: deduction of analytic expression and determination of possible inverse. Graph of function and operation with graphs by simple geometric transformations. The constant function. The identical function . The polynomial function of the first degree. The absolute value function: properties and related inequalities.
The power functions with natural exponent and integer exponent. Power function with rational exponent and with real exponent. Solving an inequality by the graphical method.
Exponential and logarithm functions. Logarithm of product and ratio, base change and related inequalities. Polynomial function of the second degree.
The goniometric circle. Measurement in radians of an angle. The sine, cosine
and tangent. Properties of triangles and determination of trigonometric functions in some special values. Pythagorean theorem and fundamental relationship between sine and cosine. Local inverses of trigonometric functions. Vibrational phenomena: graph of a trigonometric polynomial asenx+bcosx and graph of f(x)cosx or f(x)senx.
Hyperbolic functions and their inverses. Determination of the defining set of a function.

Successions. Definition of succession, regular and oscillating succession, definition of limit of a succession. Uniqueness theorem of the limit. Limited successions and convergen t successions. Monotone successions. Regularity theorem of monotone successions and applications. Neper's number and its approximation by excess and defect. Theorems of the permanence of the sign. Limit algebra and indeterminate forms. Product of a finite and an infinitesimal subsequence. Comparison theorem. Comparisons and asymptotic estimates. Properties of the asymptoticity relation. Hierarchy of infinitives. Ratio criterion.

Limits of functions and Continuity. Definition of around a point. Definition of an accumulation point at finite and infinity. Definition of isolated point. Definition of limit of a function. The bridging theorem. Uniqueness theorem of the limit. Limit by excess and limit by defect. Right limit and left limit. Asymptotes. Regularity theorem by comparison. Theorems of permanence of sign. Algebra of limits. Limit theorem of the compound function. Limits of polynomials, rational functions. Notable limits. Comparisons and asymptotic estimates. Hierarchy of infinitives. Asymptotic estimates and graphs. Definition of continuous function. Continuity theorem of elementary functions . Definition of a point of discontinuity. Classification of discontinuities of a function. The theorem of zeros. Weirstrass theorem. Bolzano's theorem of intermediate values. Continuity and invertibility. Invertibility of a continuous strictly monotone function in an interval.

Differential Calculus. Definition of derivative of a function at a point and its geometric and physical interpretation. Definition of a function derivable at a point and in a set. Set of derivability. Derivatives of elementary functions. Angular points, vertical tangent inflections and cusps. Derivability and continuity. Algebra of derivatives. Derivation theorem of the compound function. Derivative of the inverse function. Definition of local extreme point and absolute extreme point. Fermat's theorem. Stationary points. Rolle's theorem. Lagrange's theorem. Characterization of functions with zero derivative. The monotonicity test.
The theorems of de L'Hospital . The extension theorem of the derivative. Criterion for evaluating the order of infinitesimal. The second derivative and its geometric interpretation. The higher order derivatives. Definition of concave/convex function. Convexity and tangent lines. Ascending and descending inflection points. Convexity test. Necessary condition for the existence of an inflection point. Graph of a function. Local graph of a function around a point.

Differential of a function and linear approximation. The symbol for "or small." Definition of differentiable function and its geometric interpretation. Equivalence between differentiability and derivability. . Taylor's formula and Mac Laurin's formula with Peano's remainder.

Integrals. Primitive integral of a function. Indefinite integral of a continuous function. Characterization of the set of primitives of a continuous function in an interval . Table of immediate integrals. Properties of the indefinite integral. Methods of indefinite integration: by decomposition into sum, by substitution, by parts. Integration of rational functions. Integrals of functions of the type sennx, cosnx, senhnx,coshnx, xneαxsenβx , xneαxcosβx ,
sennx cosmx, xnlogx.Integrals of rational expressions .
Definition of decomposition of an interval, upper and lower sums of a function
limited. Definition of integrable function according to Riemann: geometric interpretation. Example of a nonintegrable function according to Riemann: the Dirichlet function. Riemann integrability criterion. Classes of integrable functions according to Riemann: monotone functions and continuous functions Properties of the definite integral: linearity, monotonicity, additivity, modulus, mean theorem. Fundamental theorem of integral calculus. Fundamental formula of integral calculus. Definition of improper sense integrable function. Non-negative functions and integrability in the improper sense. Criterion of comparison. Criterion of asymptotic comparison.

Numerical Series. Definition of a numerical series. Definition of character of a series. Necessary condition for convergence. The geometric series of reason q. Telescopic series. The harmonic series. The generalized harmonic series. Series with nonnegative terms. Ratio criterion, root criterion, comparison criterion, asymptotic comparison criterion. Series with alternate signs. Leibnitz's criterion. Series with general term indeterminate in sign. Absolutely convergent series. Absolute convergence and convergence.

Differential Equations. Definitions of differential equation, homogeneous and complete linear differential equation, solution of a differential equation, general integral of a differential equation. First-order equations: separable variable equations and Cauchy problem. First-order linear equations: general integral theorem . Solution of the homogeneous equation and finding a particular integral of the complete. Second-order linear equations: Generalities of linear equations. Cauchy problem. The structure of the general integral: general integral theorem of the complete linear equation. General integral theorem of the homogeneous equation. Homogeneous equations with constant coefficients. Non-homogeneous equations: finding a particular solution by the method of similarity and the method of variation of constants.


Topics written in italics are accompanied by demonstrations.
Examples and counterexamples and exercises related to all the given topics are part of the program.