ITALIANO

Elementi di calcolo delle probabilità.
Teoria delle variabili aleatorie.
Stima puntuale e per intervallo dei parametri di modelli di variabili
aleatorie.
Test d'ipotesi sui parametri di modelli di variabili aleatorie.
Test del chi quadro.
Regressione lineare.

testi consigliati:
S. M. Ross, Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze, Apogeo.

P. Erto, Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria,
McGraw-Hill.

Sono disponibili su Teams le slides delle lezioni.

Il corso ha lo scopo di introdurre lo studente all’uso del calcolo delle
probabilità e della statistica per la soluzione di problemi di Ingegneria

Nessuno

Lezione frontale. Esercitazioni.

Sviluppo di un progetto sull'analisi dei dati di un dataset consigliato e relativa inferenza statistica. Discussione orale.

Definizioni di probabilità (classica, frequentista, soggettiva, assiomatica). Richiami di calcolo combinatorio. Algebra degli eventi: esperimento casuale, eventi elementari e composti. Unione e intersezione di eventi. Evento complementare. Eventi incompatibili. Eventi indipendenti. Partizione dello spazio degli eventi. Probabilità condizionata. Legge della probabilità totale. Teorema di Bayes.

Variabili casuali. Funzione di distribuzione. Variabili continue e densità di probabilità. Trasformazioni di variabili. Variabili bidimensionali e distribuzione congiunta. Distribuzioni condizionate e marginali. Momenti di una variabile aleatoria. Media, momenti assoluti e momenti centrali. Proprietà degli operatori media e varianza. Covarianza e coefficiente di correlazione. Mediana, moda e quantili. Coefficienti di asimmetria e curtosi. Funzione generatrice dei momenti.
Variabili aleatorie disctrete: Uniforme, Bernoulli, Binomiale, Multinomiale, Geometrica, Binomiale negativa, Ipergeometrica, Poisson. (calcolo di massa di probabilità, funzione di distribuzione, media e varianza, funzione generatrice dei momenti). Uso delle tavole per binomiale e Poisson.
Alcuni risultati utili: disuguaglianza di Markov, disuguaglianza di Chebyshev, legge dei grandi numeri. Approssimazione della distribuzione binomiale con la Poisson.
Variabili aleatorie continue: Uniforme continua, Esponenziale, Gamma, Normale, Lognormale, Chi quadro, t di Student. Distribuzione normale: legge dei tre sigma; normale standard; uso delle tavole; quantili; somma di variabili normali; teorema del limite centrale. Approssimazione di una binomiale e di una Poisson con una normale.

Statistica: descrittiva e inferenziale. Concetti di popolazione e campione. Campionamento semplice, sistematico, stratificato. Esperimento: trattamento, responso, fattori e livelli. Disegno sperimentale. Organizzazione dei dati: variabili qualitative e quantitative (discrete e continue). Tabelle di frequenza. Rappresentazione dei dati: grafici a barre, a torta, dot plot, stem and leaf, istogrammi, box plot.
Utilizzo delle relative funzioni in Matlab.

Stima di parametri di una v.a. Stimatori. Bias e MSE. Stimatori corretti, asintoticamente corretti, consistenti, più efficienti. Lo stimatore media campionaria: correttezza, consistenza, distribuzione.
Lo stimatore varianza campionaria: correttezza, consistenza, distribuzione.
Stima puntuale dei parametri di una distribuzione: metodo dei momenti e della massima verosimiglianza. Esempi per le principali distribuzioni (Bernoulli, Esponenziale, Poisson, Uniforme, Gaussiana).
Stima intervallare: concetto di intervallo di confidenza e di grado di fiducia. Intervalli unilaterali e bilaterali. Errore massimo della stima. Intervalli di confidenza per la media (con varianza sia nota che incognita) e per la varianza di una popolazione. Intervallo per la differenza tra le medie di due popolazioni (varianza nota, varianza incognita ma uguale; campioni accoppiati). Stima della proporzione di una popolazione e relativo intervallo.

Test di ipotesi. Ipotesi nulla e ipotesi alternativa. Regola di decisione e regione di rifiuto. Errori di primo e secondo tipo. Significatività e potenza di un test. Fasi di un test. P-value.
Test parametrici e non parametrici. Test su una popolazione: sulla media (per varianza nota o incognita), sulla varianza, sulla proporzione (test esatto e approssimato). Test di confronto per la media tra due popolazioni (varianza nota o incognita ma uguale). Confronto per la media tra campioni appaiati. Il
test del chi quadro sulla bontà di adattamento. Test del chi quadro per
l’indipendenza tra due caratteristiche e per la conformità tra due
popolazioni. Tabelle di contingenza.
Analisi di un dataset: procedure di statistica descrittiva e inferenziale
applicate su un prototipo di progetto di esame.
Analisi di regressione. Regressione lineare semplice. Metodo dei minimi quadrati. Gli stimatori dei minimi quadrati per i parametri di regressione, per la somma dei quadrati dei residui, per la risposta media e la risposta singola. Inferenza e intervalli di confidenza. Test di dipendenza lineare. Intervalo di predizione per la risposta e bande di confidenza. Coefficiente di determinazione. Analisi dei residui. Generalizzazioni: linearizzazione del modello, minimi quadrati pesati, regressione lineare multipla. Applicazioni in Matlab.
Analisi delle componenti principali. Cenni su classificazione e clustering.

Italian

Elements of probability theory. Random variables. Point and interval
estimation for the parameters of a random variable. Hypothesis testing of
populations parameters. Chi-squared test. Regression

The aim of the course is to introduce students to the use of the calculus of
probability and statistics for the solution of engineering problems

None

Development of a project on data analysis of a recommended dataset and related statistical inference. Oral discussion.

Definitions of probability (classical, frequentist, subjective, axiomatic). Combinatorial calculus. Algebra of events: random experiment, elementary and compound events. Union and intersection of events. Complementary events. Incompatible events. Independent events. Partition of the space of events. Conditional probability. Law of total probability. Bayes' theorem.

Random variables. Distribution function. Continuous variables and probability density. Transformations of variables. Two-dimensional variables and joint distribution. Conditional and marginal distributions. Moments of a random variable. Mean, absolute moments and central moments. Properties of the mean and variance operators. Covariance and correlation coefficient. Median, mode and quantiles. Skewness and kurtosis coefficients. Moment Generating Function.
Discrete random variables: Uniform, Bernoulli, Binomial, Multinomial, Geometric, Negative Binomial, Hypergeometric, Poisson. (their probability mass, distribution function, mean and variance, moment generating function). Use of binomial and Poisson tables.
Some useful results: Markov inequality, Chebyshev inequality, law of large numbers. Approximation of the binomial distribution with the Poisson.
Continuous random variables: Continuous Uniform, Exponential, Gamma, Normal, Lognormal, Chi Square, Student's t. Normal distribution: three sigma law; standard normal; use of tables; quantiles; sum of normal variables; central limit theorem. Approximation of a binomial and a Poisson with a normal.

Descriptive and inferential statistics. Concepts of population and sample. Simple, systematic, stratified sampling. Experiment: treatment, response, factors and levels. Experimental design. Data Organisation: qualitative and quantitative variables (discrete and continuous). Frequency tables. Data representation: bar graphs, pie charts, dot plots, stem and leaf, histograms, box plots.
Use of related functions in Matlab.

Estimation of parameters of a random variable. Estimators. Bias and MSE. Correct, asymptotically correct, consistent, most efficient estimators. The sample mean estimator: correctness, consistency, distribution.
The sample variance estimator: correctness, consistency, distribution.
Point estimates of the parameters of a distribution: method of moments and maximum likelihood. Examples for the main distributions (Bernoulli, Exponential, Poisson, Uniform, Gaussian).

Interval estimation: concept of confidence interval and degree of confidence. One-sided and two-sided intervals. Maximum error of the estimate. Confidence intervals for the mean (with both known and unknown variance) and for the variance of a population. Interval for the difference between the means of two populations (known variance, unknown but equal variance; paired samples). Estimation of the proportion of a population and its range.

Hypothesis testing. Null hypothesis and alternative hypothesis. Decision rule and rejection region. Errors of the first and second type. Significance and power of a test. Stages of a test. P-value.
Parametric and non-parametric tests. Tests on a population: on the mean (for known or unknown variance), on the variance, on the proportion (exact and approximate test). Comparison test for the mean between two populations (known or unknown but equal variance). Comparison for the mean between paired samples. The chi-square test for goodness of fit. Chi-square test for
independence between two characteristics and for conformity between two populations. Contingency tables.
Analysis of a dataset: descriptive and inferential statistical procedures applied on a prototype project.
Regression analysis. Simple linear regression. Least squares method. Least squares estimators for regression parameters, sum of squares of residuals, mean response and single response. Inference and confidence intervals. Linear dependence tests. Prediction interval for the response and confidence bands. Coefficient of determination. Residual analysis. Generalisations: model linearisation, weighted least squares, multiple linear regression. Applications in Matlab.
Principal component analysis. Notes on classification and clustering.